segunda-feira, 10 de janeiro de 2011

MuPAD Light 2.5.3 aplicado ao ensino fundamental e médio


Prof. Especialista Lindberg Barbosa Lira de Almeida

O ensino da matemática no ensino fundamental e médio torna-se cansativo a partir do momento que não temos uma ferramenta adequada para a manipulação aritmética e algébrica de conceitos já assimilados, utilizando-se de um aplicativo como o MuPAD poderemos ganhar muito tempo para a conceituaçao e aplicação de novos conceitos. A seguir apresento algumas sintaxes de comando que podem ser bem úteis nesse aspecto.

MuPAD; ensino fundamental; ensino médio; manipulação aritmética e algébrica.



 
 EXEMPLOS
SINTAXE DE COMANDO 
RESULTADO 
2 + 3
2+3 
2 . 3
2*3 
6 : 2
6/2 
raiz quadrada de 9
sqrt(9) 
23
2^3 
gerar gráfico y=cos x em [0,2] em 2D
plotfunc2d(cós(x), x=0..2*PI)
gráfico em 2D 
gerar gráfico y=cos x em [0,2] em 3D
plotfunc3d(cós(x), x=0..2*PI)
gráfico em 3D 
Liberar memória do programa
reset() 
-
log 8 na base 2
Log(2,8)
resposta como um número real
float(sqrt(6))
2.449489743
resposta como um número real
Sqrt(6.0)
2.449489743
escrever expressão anterior como nº real
float(%) 
-
dividir 1 por um número muito grande
1/infinity 
0
módulo ou valor absoluto de -2
Abs(-2)
2
arredondamento padrão inteiro mais próximo
Round(1.51)
2
Fatorar
ifactor(64)
26
verificar se é primo
isprime(2) 
true  
resto da divisão do primeiro pelo segundo
24 mod 5
4
definir/armazenar um número complexo
x:=2*I+1 
Define 2i+1 
utilizar complexo definido ex. elevar ao quadrado
X^2
-3+4I 
definir/armazenar outro complexo
y:=3*I-5
define 3i-5
utilizar complexos definidos ex.: divisão
x/y 
1/34-13/34i 
norma do complexo x
abs(x)
5
inverso do complexo x
1/x
1/5-2/5I
definir/armazenar um polinômio p
p:=x^2+4*x+2
4x+x2+2
obtendo as raízes de um polinômio
solve(x^2+4,x)
-2 I , 2 I
obtendo as raízes de um polinômio n>5
solve(x^6+x^2+x^3+x,x)
{-1, 0} union RootOf(X1^2 - X1^3 + X1^4 + 1, X1)
calculando as demais raízes da equação anterior
Float (%) 
aparecerá tb as outras


resolvendo sistemas de equações lineares

equacoes:={ x+y=3, 2*x-y=7} 

{x + y = 3, 2 x - y = 7}

solve (equacoes)
{[x = 10/3, y = -1/3]} 
resolvendo sistemas de equações não lineares
eq:={x^2-y=7, x+y^2=1}
{x + y2 = 1, x2 - y = 7}

solve(eq)
    [x = -3, y = 2] solução em Z    
resolvendo equações transcendentes
solve(sin(x)=1/2)
x in { 1/6*PI + 2*X1*PI | X1 in Z_ } union
{ 5/6*PI + 2*X2*PI | X2 in Z_ }
resolvendo inequações
solve(x^2-2*x+4<0)
{}

solve(x^2-2*x+4>0) 
x in R_

solve(x^2-5*x+6>0)
x in ]-infinity, 2[ union ]3, infinity[
comandos úteis para polinômios
p:=x^2+4*x+2
q:=x^3+4
divide(p,q) 
4x+x2+2
X3+4
0, 4x+x2+2 (quociente, resto)

divide(q,p)
x - 4, 14 x + 12

divide(q,p, Quo)
x – 4

divide(q,p, Rem) 
14 x + 12

 solve(p)
float(%) 
{[x = 2 - 2], [x = - 2-2]}
{[x = -0.5857864376], [x = -3.414213562]}
Simplificando
simplify(cos(x)^2+sin(x)^2)
1

simplify((x^2-1)/(x+1)-(x-1)) 
Fatorando
p:=x^2+4*x+2
factor(p+2)
X2+4x+2
(x+2)2

q:=x^3+4
factor(q-5)
x3+4
(x - 1) (x + x2 + 1)
somatórios(somando de 1 a 10)
sum(x, x=1..10) 
55 
somatórios definidos por funções
fazendo a soma p(1)+p(2)+...+p(5)
p:=x^2+2*x+3
sum(p(x),x=1..5) 
2x+x2+3
100 
soma infinita dos inversos dos quadrados naturais
sum(1/n^2, n=1..infinity)
cria uma soma
soma:=sum(x^y, y=1..10)
x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
somas exp por função binomial(n, i) = n!/[(n - i)!*i!]
sum( binomial(15,n), n=0..15)
32768
exemplo anterior equivale a:
2^15
32768 
união de conjuntos
A:={1,2,3}: B:={4,5,6}: C:={1,4}
A union B
{1,4}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Diferença
A minus C
{2, 3}
Intersecção
A intersect C
{1}
expressão (AC) B ; A(CB)
(A intersect C) union B; A intersect (C union B)
{1, 4, 5, 6}
{1}
definindo uma função
f := x -> x^2
x -> x^2
imagem de 2
F(2)
Imagem de (a+b)
f(a+b)
(a+b)2
definindo outra função
g:=x->1+x^2
x -> 1 + x^2
Produto
f(x)*g(x)
x2 (x2 + 1)
Produto
f(3)*g(1)
18 
Composta
f(g(x))
(x2 + 1)2
Composta
f(g(1))
4
Produto
sin(PI/2)*f(PI) 
PI2
Composta
g( tg(x) )
tg(x)2 + 1
definindo uma função p por partes
p:=x->piecewise( [x<0, x^2], [x=0, 0], [x>0, x+1])
x -> piecewise([x < 0, x^2], [x = 0, 0], [0 < x, x + 1])

p(-3);p(5);
9 ; 6 

f(p(x))
piecewise(x4 if x < 0, 0 if x = 0, (x + 1)2 if 0 < x)

f(p(4)) 
25

p(f(4)) 
17 
gráfico da função y=x^3, no intervalo de x=–3 até x=3
plotfunc2d( x^3, x=-3..3)
gráfico
gráficos de seno e cosseno juntos
plotfunc2d( sin(x), cos(x), x=-PI..PI)
gráficos no mesmo sistema

plotfunc2d(sqrt(1 - x^2), sqrt(x-1), x = -2..2)
gráfico
função com singularidade
plotfunc2d(1/((x-2)*(x-3)), x=0..4)
gráfico
gráfico do exemplo anterior melhorado
plotfunc2d(1/((x-2)*(x-3)), x=0..4, y=-5..5, Scaling=Constrained)
gráfico melhorado (proporcional)
gráfico com restrições de domínio
plotfunc2d(sin(x)+cos(x)+x^5-4*x^3, x=-3..3)
gráfico restrito ao intervalo [-3,3] p/domínio
gráfico com restrições de domínio e imagem
plotfunc2d(sin(x)+cos(x)+x^5-4*x^3, x=1..2,y=-5..-1)
gráfico restrito aos intervalos [1,2]p/domínio e [-5,-1]/imagem
gráfico com plano todo
pontilhado
plotfunc2d(x^2+3*x+1, x=-4..1, y=-5..5, GridLines=20)
Gráfico com fundo pontilhado
alterar as cores da figura com algumas opções auxiliaresplotfunc2d(x^2+3*x+1, x=-4..1, y=-5..5, GridLines=20, ForeGround=RGB::Red, BackGround=RGB::Yellow)
gráfico com cores diferentes fundo amarelo e eixos vermelhos
alterar a cor dos pontilhadosplotfunc2d(x^2+3*x+1, x=-4..1, y=-5..5, GridLines=20, ForeGround=RGB::Red, BackGround=RGB::Yellow, GridLinesColor=RGB::Black,
GridLinesStyle=SolidLines)
gráfico...
gráfico 3dplotfunc3d( x+y-6,x+y^2, x=-5..5, y=-5..5)
gráfico
gráfico 3d resolução e ambiente alteradosplotfunc3d( x+y-6,x+y^2, x=-5..5, y=-5..5, Axes=Corner, Grid=[50,50])
Gráfico
definindo uma função por partesg:=piecewise( [x<y, x+y], [x>=y, cos(x)*y])piecewise(x + y if x < y, y cos(x) if y <= x)
gráfico 3d da função anteriorplotfunc3d( g(x,y), x=-5..5, y=-5..5, Grid=[40,40])
gráfico
definir o ponto (x, y, z) de onde será "olhado" o gráfico, com a opção CameraPoint = [x,y,z].plotfunc3d( g(x,y), x=-5..5, y=-5..5, Grid=[40,40], CameraPoint=[1,10,20])
gráfico com ponto de visão diferente do anterior
definindo uma função descontínua em x=1f:=x->1/(x-1)
x -> 1/(x - 1)
calculando o limite tendendo a esquerda de xlimit( f(x), x=1, Left)
-infinity
calculando o limite tendendo a direita de xlimit( f(x), x=1, Right) 
Infinity
calculando o limite bilaterallimit( f(x), x=1)
undefined
conferindo resultados com gráficoplotfunc2d( f(x), x=0..2 )
gráfico
definindo função ff:=x->x^2*sin(x)
x -> x^2*sin(x)
derivando função fdiff( f(x) , x )
2 x sin(x) + x2 cos(x)
derivando função ff'(x) 
2 x sin(x) + x2 cos(x)
derivada segunda da função ff''(x)
2 sin(x) + 4 x cos(x) – x2 sin(x)
determinando retas tangentes a gráficos de funçõesg:=x->x^2+2*x-4
x -> (x^2 + 2*x) - 4

a:=1
1

m :=g'(a) 

rtg:= x->m*(x-a)+g(a) 
x -> m*(x - a) + g(a)

plotfunc2d(g(x), rtg(x), x=-5..5)
gráfico
integrandof:=x->x^2*sin(x)     

int(f'(x),x) 
2 sin(x) + sin(x) (x2 - 2)
simplificando o resultado anteriorfactor(%) 
sin(x) x2
calculando integral definidaint(ln(x), x=1..4)
4 ln(4) – 3
gráfico da integral definida(área sob a curva)h:=x->ln(x)
inferior:=1
superior:=4
grafico:=[Mode=Curve, [u, h(u)], u=[inferior,superior],
Style=[Impulses], Grid=[200]]
linha:=[Mode=Curve, [u, h(u)], u=[inferior,2*superior], Grid=[200]]
plot2d(grafico,linha,RealValuesOnly = TRUE )

gráfico(area)

int( h(x), x=inferior..superior)
área da parte hachurada
criando uma matriz(nxm) sem especificar termosA:=matrix(2,2) 
criando uma matriz especificando os termosB:=matrix(2,2,[ [1,2], [3,4]]) 
criando uma matriz diagonal 3x3, com termos da diagonal iguais a 8B:=matrix(3,3,8,Diagonal)
criando mais uma matrizC:=matrix(2,2, [[6,7], [9,9]])     
mesmos comandos para as operações básicas
B+C, B*C, B*C+B^2



  
  
obtendo a inversa
1/B
criando polígonos
export(plot)
ativa recursos

a:=Point(1,3): b:=Point(5,6): c:=Point(5,2): d:=Point(0,0): 
informa os vértices

plot(a,b,c,d)
plota em 2d

plot(Point(0,0,0, PointWidth=100, Color=RGB::Blue),Point(1,2,2, PointWidth=100, Color=RGB::Red),Point(4,5,6, PointWidth=100, Color=RGB::Black)) 

 plota em 3d

Referências Bibliográficas

1.  Tutorial do prof.: Ricardo Miranda Martins rmiranda@vicosa.ufv.br
2. IEZZI, Gelson – Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1 : Conjuntos, funções. 7ª Edição – São Paulo, Editora Atual, 1993.

     

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