Prof. Especialista Lindberg Barbosa Lira de Almeida
O ensino da matemática no ensino fundamental e médio torna-se cansativo a partir do momento que não temos uma ferramenta adequada para a manipulação aritmética e algébrica de conceitos já assimilados, utilizando-se de um aplicativo como o MuPAD poderemos ganhar muito tempo para a conceituaçao e aplicação de novos conceitos. A seguir apresento algumas sintaxes de comando que podem ser bem úteis nesse aspecto.
MuPAD; ensino fundamental; ensino médio; manipulação aritmética e algébrica.
| EXEMPLOS |
SINTAXE DE COMANDO
|
RESULTADO
|
| 2 + 3 |
2+3
|
5
|
| 2 . 3 |
2*3
|
6
|
| 6 : 2 |
6/2
|
3
|
| raiz quadrada de 9 |
sqrt(9)
|
3
|
| 23 |
2^3
|
8
|
gerar gráfico y=cos x em [0,2 ] em 2D |
plotfunc2d(cós(x), x=0..2*PI)
|
gráfico em 2D
|
| gerar gráfico y=cos x em [0,2] em 3D |
plotfunc3d(cós(x), x=0..2*PI)
|
gráfico em 3D
|
| Liberar memória do programa |
reset()
|
-
|
| log 8 na base 2 |
Log(2,8)
|
3
|
| resposta como um número real |
float(sqrt(6))
|
2.449489743
|
| resposta como um número real |
Sqrt(6.0)
|
2.449489743
|
| escrever expressão anterior como nº real |
float(%)
|
-
|
| dividir 1 por um número muito grande |
1/infinity
|
0
|
| módulo ou valor absoluto de -2 |
Abs(-2)
|
2
|
| arredondamento padrão inteiro mais próximo |
Round(1.51)
|
2
|
| Fatorar |
ifactor(64)
|
26
|
| verificar se é primo |
isprime(2)
|
true
|
| resto da divisão do primeiro pelo segundo |
24 mod 5
|
4
|
| definir/armazenar um número complexo |
x:=2*I+1
|
Define 2i+1
|
| utilizar complexo definido ex. elevar ao quadrado |
X^2
|
-3+4I
|
| definir/armazenar outro complexo |
y:=3*I-5
|
define 3i-5
|
| utilizar complexos definidos ex.: divisão |
x/y
|
1/34-13/34i
|
| norma do complexo x |
abs(x)
|
5
 |
| inverso do complexo x |
1/x
|
1/5-2/5I
|
| definir/armazenar um polinômio p |
p:=x^2+4*x+2
|
4x+x2+2
|
| obtendo as raízes de um polinômio |
solve(x^2+4,x)
|
-2 I , 2 I
|
| obtendo as raízes de um polinômio n>5 |
solve(x^6+x^2+x^3+x,x)
|
{-1, 0} union RootOf(X1^2 - X1^3 + X1^4 + 1, X1)
|
| calculando as demais raízes da equação anterior |
Float (%)
|
aparecerá tb as outras
|
resolvendo sistemas de equações lineares
| equacoes:={ x+y=3, 2*x-y=7} | {x + y = 3, 2 x - y = 7} |
solve (equacoes)
|
{[x = 10/3, y = -1/3]}
| |
| resolvendo sistemas de equações não lineares |
eq:={x^2-y=7, x+y^2=1}
|
{x + y2 = 1, x2 - y = 7}
|
solve(eq)
| [x = -3, y = 2] solução em Z | |
| resolvendo equações transcendentes |
solve(sin(x)=1/2)
| x in { 1/6*PI + 2*X1*PI | X1 in Z_ } union
{ 5/6*PI + 2*X2*PI | X2 in Z_ }
|
| resolvendo inequações |
solve(x^2-2*x+4<0)
|
{}
|
solve(x^2-2*x+4>0)
|
x in R_
| |
solve(x^2-5*x+6>0)
| x in ]-infinity, 2[ union ]3, infinity[ | |
| comandos úteis para polinômios |
p:=x^2+4*x+2
q:=x^3+4
divide(p,q)
|
4x+x2+2
X3+4
0, 4x+x2+2 (quociente, resto)
|
divide(q,p)
|
x - 4, 14 x + 12
| |
divide(q,p, Quo)
|
x – 4
| |
divide(q,p, Rem)
|
14 x + 12
| |
solve(p)
float(%)
| {[x = 2 - 2], [x = - 2-2]}{[x = -0.5857864376], [x = -3.414213562]} | |
| Simplificando |
simplify(cos(x)^2+sin(x)^2)
|
1
|
simplify((x^2-1)/(x+1)-(x-1))
|
0
| |
| Fatorando |
p:=x^2+4*x+2
factor(p+2)
|
X2+4x+2
(x+2)2
|
q:=x^3+4
factor(q-5)
|
x3+4
(x - 1) (x + x2 + 1)
| |
| somatórios(somando de 1 a 10) |
sum(x, x=1..10)
|
55
|
| somatórios definidos por funções
fazendo a soma p(1)+p(2)+...+p(5)
|
p:=x^2+2*x+3
sum(p(x),x=1..5)
|
2x+x2+3
100
|
| soma infinita dos inversos dos quadrados naturais |
sum(1/n^2, n=1..infinity)
|  |
| cria uma soma |
soma:=sum(x^y, y=1..10)
|
x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
|
| somas exp por função binomial(n, i) = n!/[(n - i)!*i!] |
sum( binomial(15,n), n=0..15)
|
32768
|
| exemplo anterior equivale a: |
2^15
|
32768
|
| união de conjuntos |
A:={1,2,3}: B:={4,5,6}: C:={1,4}
A union B
|
{1,4}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
|
| Diferença |
A minus C
|
{2, 3}
|
| Intersecção |
A intersect C
|
{1}
|
expressão (A C)  B ; A(CB) |
(A intersect C) union B; A intersect (C union B)
|
{1, 4, 5, 6}
{1}
|
| definindo uma função |
f := x -> x^2
|
x -> x^2
|
| imagem de 2 |
F(2)
|
4
|
| Imagem de (a+b) |
f(a+b)
|
(a+b)2
|
| definindo outra função |
g:=x->1+x^2
|
x -> 1 + x^2
|
| Produto |
f(x)*g(x)
|
x2 (x2 + 1)
|
| Produto |
f(3)*g(1)
|
18
|
| Composta |
f(g(x))
|
(x2 + 1)2
|
| Composta |
f(g(1))
|
4
|
| Produto |
sin(PI/2)*f(PI)
|
PI2
|
| Composta |
g( tg(x) )
|
tg(x)2 + 1
|
| definindo uma função p por partes |
p:=x->piecewise( [x<0, x^2], [x=0, 0], [x>0, x+1])
|
x -> piecewise([x < 0, x^2], [x = 0, 0], [0 < x, x + 1])
|
p(-3);p(5);
|
9 ; 6
| |
f(p(x))
|
piecewise(x4 if x < 0, 0 if x = 0, (x + 1)2 if 0 < x)
| |
f(p(4))
|
25
| |
p(f(4))
|
17
| |
| gráfico da função y=x^3, no intervalo de x=–3 até x=3 |
plotfunc2d( x^3, x=-3..3)
|
gráfico
|
| gráficos de seno e cosseno juntos |
plotfunc2d( sin(x), cos(x), x=-PI..PI)
|
gráficos no mesmo sistema
|
plotfunc2d(sqrt(1 - x^2), sqrt(x-1), x = -2..2)
|
gráfico
| |
| função com singularidade |
plotfunc2d(1/((x-2)*(x-3)), x=0..4)
|
gráfico
|
| gráfico do exemplo anterior melhorado |
plotfunc2d(1/((x-2)*(x-3)), x=0..4, y=-5..5, Scaling=Constrained)
|
gráfico melhorado (proporcional)
|
| gráfico com restrições de domínio |
plotfunc2d(sin(x)+cos(x)+x^5-4*x^3, x=-3..3)
|
gráfico restrito ao intervalo [-3,3] p/domínio
|
| gráfico com restrições de domínio e imagem |
plotfunc2d(sin(x)+cos(x)+x^5-4*x^3, x=1..2,y=-5..-1)
|
gráfico restrito aos intervalos [1,2]p/domínio e [-5,-1]/imagem
|
| gráfico com plano todo pontilhado |
plotfunc2d(x^2+3*x+1, x=-4..1, y=-5..5, GridLines=20)
|
Gráfico com fundo pontilhado
|
| alterar as cores da figura com algumas opções auxiliares | plotfunc2d(x^2+3*x+1, x=-4..1, y=-5..5, GridLines=20, ForeGround=RGB::Red, BackGround=RGB::Yellow) |
gráfico com cores diferentes fundo amarelo e eixos vermelhos
|
| alterar a cor dos pontilhados | plotfunc2d(x^2+3*x+1, x=-4..1, y=-5..5, GridLines=20, ForeGround=RGB::Red, BackGround=RGB::Yellow, GridLinesColor=RGB::Black, GridLinesStyle=SolidLines) |
gráfico...
|
| gráfico 3d | plotfunc3d( x+y-6,x+y^2, x=-5..5, y=-5..5) |
gráfico
|
| gráfico 3d resolução e ambiente alterados | plotfunc3d( x+y-6,x+y^2, x=-5..5, y=-5..5, Axes=Corner, Grid=[50,50]) |
Gráfico
|
| definindo uma função por partes | g:=piecewise( [x<y, x+y], [x>=y, cos(x)*y]) | piecewise(x + y if x < y, y cos(x) if y <= x) |
| gráfico 3d da função anterior | plotfunc3d( g(x,y), x=-5..5, y=-5..5, Grid=[40,40]) |
gráfico
|
| definir o ponto (x, y, z) de onde será "olhado" o gráfico, com a opção CameraPoint = [x,y,z]. | plotfunc3d( g(x,y), x=-5..5, y=-5..5, Grid=[40,40], CameraPoint=[1,10,20]) |
gráfico com ponto de visão diferente do anterior
|
| definindo uma função descontínua em x=1 | f:=x->1/(x-1) |
x -> 1/(x - 1)
|
| calculando o limite tendendo a esquerda de x | limit( f(x), x=1, Left) |
-infinity
|
| calculando o limite tendendo a direita de x | limit( f(x), x=1, Right) |
Infinity
|
| calculando o limite bilateral | limit( f(x), x=1) |
undefined
|
| conferindo resultados com gráfico | plotfunc2d( f(x), x=0..2 ) |
gráfico
|
| definindo função f | f:=x->x^2*sin(x) |
x -> x^2*sin(x)
|
| derivando função f | diff( f(x) , x ) |
2 x sin(x) + x2 cos(x)
|
| derivando função f | f'(x) |
2 x sin(x) + x2 cos(x)
|
| derivada segunda da função f | f''(x) |
2 sin(x) + 4 x cos(x) – x2 sin(x)
|
| determinando retas tangentes a gráficos de funções | g:=x->x^2+2*x-4 |
x -> (x^2 + 2*x) - 4
|
| a:=1 |
1
| |
| m :=g'(a) |
4
| |
| rtg:= x->m*(x-a)+g(a) |
x -> m*(x - a) + g(a)
| |
| plotfunc2d(g(x), rtg(x), x=-5..5) |
gráfico
| |
| integrando | f:=x->x^2*sin(x) | |
| int(f'(x),x) |
2 sin(x) + sin(x) (x2 - 2)
| |
| simplificando o resultado anterior | factor(%) |
sin(x) x2
|
| calculando integral definida | int(ln(x), x=1..4) |
4 ln(4) – 3
|
| gráfico da integral definida(área sob a curva) | h:=x->ln(x) inferior:=1 superior:=4 grafico:=[Mode=Curve, [u, h(u)], u=[inferior,superior], Style=[Impulses], Grid=[200]] linha:=[Mode=Curve, [u, h(u)], u=[inferior,2*superior], Grid=[200]] plot2d(grafico,linha,RealValuesOnly = TRUE ) | gráfico(area) |
| int( h(x), x=inferior..superior) |
área da parte hachurada
| |
| criando uma matriz(nxm) sem especificar termos | A:=matrix(2,2) |  |
| criando uma matriz especificando os termos | B:=matrix(2,2,[ [1,2], [3,4]]) |  |
| criando uma matriz diagonal 3x3, com termos da diagonal iguais a 8 | B:=matrix(3,3,8,Diagonal) |  |
| criando mais uma matriz | C:=matrix(2,2, [[6,7], [9,9]]) | |
| mesmos comandos para as operações básicas |
B+C, B*C, B*C+B^2
|    |
| obtendo a inversa |
1/B
|  |
| criando polígonos |
export(plot)
|
ativa recursos
|
| a:=Point(1,3): b:=Point(5,6): c:=Point(5,2): d:=Point(0,0): |
informa os vértices
| |
| plot(a,b,c,d) |
plota em 2d
| |
| plot(Point(0,0,0, PointWidth=100, Color=RGB::Blue),Point(1,2,2, PointWidth=100, Color=RGB::Red),Point(4,5,6, PointWidth=100, Color=RGB::Black)) | plota em 3d |
Referências Bibliográficas
1.
Tutorial do prof.: Ricardo Miranda Martins
rmiranda@vicosa.ufv.br
2. IEZZI, Gelson – Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1 : Conjuntos, funções. 7ª Edição – São Paulo, Editora Atual, 1993.
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